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种求解漉合整数非线性规划问题的演化算法曾兰友12，康立山1，五新131.武汉大学软件巧呈国家重点实验室劝北式汉43巧2.株洲工学院计算机利学与技术系，湖南株洲3.海军工程大学兵器工程系，湖北式汉430的巧算法中，演化算法既用来定位*优解区域，实现搜索空间自动向全局*优解收缩，又用来*终求得*优解。由于在遗传算子中引用了舍入操作，它不仅可用来求解混合非线性整数规划问题，也可求解纯整型或纯实型变量非线性函数优化问题。数值试验结果表明本文的算法在解的质量、稳定性巧收敛速度等方面优于般的演化算法。
关键巧：遗传算法；函数优化；混合整数规划中图分类号：了，301 0引言演化算法是当今*重要的优化技术之。1多年来这个领域的研究工作成指数增长。基于达尔文的适者生存的原理，演化算法通过模拟大自然演化过程寻找问题的*优解。由于演化算法的全局性、灵活性自适应性和稳健性，特别适用于求解非线性不可导和多峰等高难度优化问题，已经成功地解决了些工程优化问题。
演化计算包括遗传算法、演化策略遗传程序设计、演化规划等其他研究分支。譬如由口巧算法145基于￡和￡IHD巧算法[6等都是####的算法。DE经成功地解决了不少混合整数非线性规划问题，但对有些问题，得到的解质量不高。另外，0了30，和￥提出的0了3算法6巧也是种快速有效的算法，但它没考虑求解非线性泡合整数规划问题，除了实型变量外，现实世界里很多优化问题常常还包含整型变量。例如，在机械设计中钢材厚度的各种标准规格必须看成整数装配线构成的决策是个整数规划问题。既包含整数又包含实数的优化问题称为混合整数非线性规划问题INL巧。人们常常把ELP问题中的整型变量看成实型变量，将混合整数非线性规划问题转化成实值优化问题，利用实值优化方法解问题，把实值问题个*优解的对应变量舍入后变回整数，作为INLP的个近似*优解。运种方法得到的解可能不准确，甚至不是可行解。大部分其他方法是般的86018分解法和外部近似方法18~.基本思想是把原问题分解为系列子问题，先求子问题的解，然后合成得原问题的解，送些方法本质上要求原INLP问题具有巧性和可分性。对于在某些点不光滑甚至不连续的大量实际问题，上述算法大多无能为力。
本文提出种搜索空间自动收缩法[5505可用于求解INLP问题。它利用快速有效的不完全演化搜索问题较优解的分布信息，通过分布信息，礞金项目；国胚自然科学基金抓的53国8畔计划警助项目863363作者简：定位*优解的可能范围，逐渐缩小搜索空间。在这种算法中，演化算法既用来定位*优解区域，实现搜索空间自动向*优解收缩又用来*终求解*优解。在实施过程中，问题中的整型变量也是当作实型变量参与遗传操作的，但是，得到的后代实型又变回整型参与函数适应值评估。这种算法既可求解泥合整数非线性画数优化问题，又可抖求解纯整型或纯实型变量非线性函数优化问题既可抖求解无约束非线性函数优化问题，又可抖求解约束非线性函数优化问题。计算结果表明本文的算法在解的质量、稳定性和收敛速度等方面优于知的求解INLP问题的其他算法。
1混合整数优化问题的表示不失般性，约束优化问题可描述为：infx，y1其中：引进下列记号：，G=片型变量把/尤，7和片，；分别是决策向量的上下界，5叫做搜索空间，它是个《维长方体口尤为它的中心，戊为它的半径眠，取为它的众边长。上述问题的目标函数、等式约束。不等式约束都是非线性的，问题1~5称之为带约束的非线性泥合整数规划问题。
对于带约束的非线性混合整数规划问题的求解，般的办法是通过惩罚函数把原约束问题变成无约束问题。惩罚适应函数为：=巧，0，本文针对惩罚函数问题求解。
2搜索空间自动收缩法的设计思想2.1搜索空间自动胃法的理论依据本文算法的设计依据基于如下定理：定理设/是定义在闭维长方体5上的连续函数，巧《维长方体序列满足：化是的半径；◎成里包含/片在闭《维长方体5上的*优解，片1，2则存在唯的_6成，片1，2且_是/片在闭维长方体5上的*优解。
5上的*优解，二1，2/，设?底是/在5的个*优解，根据条件、并利用完备距离空间的区间套定理，存在唯的_々，使得起留_=?下面证明是八尤在闭维长方体5上的*优解。反设_不是/尤在闭维长方体5上的*优解，记为。/レ在闭w维长方体S上的*优值不妨设为*大值=/_，根据去留_=_抖及/尤的连续性，可知当充分大时，沿是个矛盾。该证明了_是/尤巧闭维长方体5上的*优解。
在实际问题中，由于适应值函数不连续点很少、搜索空间自动收缩保持定理条伴五、满足，而且条伟1也在概率意义下满足，因此，该定理具有定指导意义，但是优化问题中的适应值画数终巧不定这帛蓖严栳蓖盛就过否仕奎豁惦减偻连续常哮理的条/，下满足，故本算法不能####保证每次总能找到*优解。
2.2哞传算子遗传算子各的般定义=3，护风口后户是群体户中的个体=1，2说，怎5是由《个父体通过遗传操作产生的后代个体，5为搜索空间。其中护=尤，本算法只采用按如下方式定义的杂交算子。
杂交算子1片机选取护=片杂交算子2这里从群体产生巧茜足：，随机产生了满足：口中随机选取护=杯，随机2.3搜索空间自动收缩停止条件设=_/，巧个*优解，若适应函数在抖_为中必，眠=趴。，於为边长的长方体里单峰，则搜索空间收缩到公时，收缩过程停止，转而在该区域里作完全演化，或采用其他快速算法求精。
收缩过程停止过早，后阶段的彻底演化收敛速度可能仍然慢若用其他快速算法，可能陷入局部极值。
收缩过程停止过晚，或干脆收缩到满足解的精确要求，速度将也较暖。
14不完全演化般地说，对于变量取值范围小、函数峰值不多，即使函数不可导甚至不连续满化算法仍然能有效地求得*优解。对于变量取值范围大搜索空间高维、适应函数多峰，般的演化算法在初始阶段，群体中的个体适应值改进较快，执行到定代数后，群体中的个体分散在各个峰值的附近，此时遗传操作很难再改进后代的适应性，从而导致收敛速度变慢。
当群体中的个体分散在各个峰值的附近时，终止演化算法，本文称这种演化为不完全演化。假设某点和其邻域的点有相似的适应值，那么*优解附近的点有较好的适应值。假设已具有足够多的较优点信息柏*优解附近的点包含在信息里，则可抖粗略定位*优解，缩小搜索空间。现在的问题是怎样获取速提供多个较优点，因而它是提供较优点信息的好王具另个优点是随机性，多次进行不完全演化，每次可抖获取不同的较优点。于是多次重复不完全演化，可抖获取足够多的较优点信息。重复不完全演化多少次才能提供足够多的较优点信息呢，搜索空间越大涵数的峰越多，需要越多的较优解信息来定位*优解的范围。因此，不完全演化的重复次数强臆赖于搜索空间的边长和适应值函数的峰的数目，但随搜索空间的收缩及较优点信息的逐渐积累，较少次数的不完全演化就可抖提供足够的信息。
2.5搜索空间自动收缩算法流程图搜索空间自动收缩算法流程图见图1.
这里〔=怎为搜索空间的中。，从群体户中随3计算结果为了检验算法的性能，本文对下述函数的优化问题进行了计算：约束函数：是由33雌巧11供，该是个压力容器设计问题搜计参数是容器的各种尺寸，目标函数是烙制压力容器的，成本，约束条件保证容器符合美国机械王程师学会标准，这是个混合整数优化问题。
对远个例子计算了洗次，参数设置如下：群体规模23，杂交父体数2，在不完全演化中，选择杂交算子1的概率为15，杂交算子2的概率为05在完全演化中，杂交算子1的概率为0.2，杂交算子2的概率为0.8，每次不完全演化的杂交数不超过1，开始时，不完全演化重复次数20，搜索空间收缩迭代过程中，搜索空间边长按等比缩小，不完全演化重复次数按等差减小。表l是各种演化算法对F的计算结论本文为解INLP问题提出了种搜索空间自茜巡窥啦髓懿药化嗤中凉剧潘杂收缩翻躜社邝新他孺益方塍/演化算溢全地重复执行提供问题较优解的分布信息，利用该分布信息，本算法定位*优解的可能范围，逐渐缩小搜索空间。在这种算法中，演化算法既用来定位*优解区域，实现搜索空间自动向*优解收缩，又用来*终求解*优解，在算法实施过程中整型变量看作实型变量参与杂交，但是，得到的后代变回整型参与函数适应值评估，因此，它不仅可抖求解非线性混合整数规划问题，而且可抖求解纯整型或纯实型变量非线性函数优化问题不仅可求解无约束非线性函数优化问题，而且可求解约束非线性函数优化问题。计算结果表明本文的算法在解的质量稳定性和收敛速度等方面优于般的演化算法。
各种演化算法计算的结果比较4没巧65
